Cours de mathématiques spéciales, tome 2 : Topologie, analyse réelle PDF

Un article de Wikipédia, l’encyclopédie libre. En topologie, on dit d’un espace séparé qu’cours de mathématiques spéciales, tome 2 : Topologie, analyse réelle PDF est compact, ou qu’il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue si, chaque fois qu’il est recouvert par des ouverts, il est recouvert par un nombre fini d’entre eux. Plusieurs propriétés des segments de la droite réelle ℝ se généralisent aux espaces compacts, ce qui confère à ces derniers un rôle privilégié dans divers domaines des mathématiques. Notamment, ils sont utiles pour prouver l’existence d’extrema pour une fonction numérique.


Une approche plus intuitive de la compacité dans le cas particulier des espaces métriques est détaillée dans l’article  Compacité séquentielle . De tout recouvrement ouvert de ce segment, on peut extraire un sous-recouvrement fini. Pour une démonstration de cette propriété voir le théorème de Borel-Lebesgue, aussi appelé théorème de Heine-Borel. La propriété de Borel-Lebesgue est étroitement liée à une propriété des suites bornées de réels : de toute suite bornée de réels, on peut extraire une suite convergente. De l’une ou l’autre de ces propriétés il est possible de tirer quelques conséquences importantes sur les fonctions numériques. Un espace topologique E est dit quasi-compact s’il vérifie l’axiome de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement ouvert de E, on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Pour que E soit quasi-compact, il suffit que tout recouvrement de E par des ouverts d’une base fixée possède un sous-recouvrement fini. B inclus dans au moins un Ui et montrons que C recouvre E. Seulement si : immédiat car toute chaîne est stable par intersections finies. I une famille non vide de fermés non vides de X stable par intersections finies et F son intersection. Il s’agit de montrer que F est non vide. NB : En terminologie anglo-saxonne, la définition est légèrement différente.

Toutes les propriétés ne s’appliquent donc pas en général, sauf sous l’hypothèse que l’espace est séparé. Tout espace fini est quasi-compact puisqu’il n’a qu’un nombre fini d’ouverts. Dans un espace séparé, étant donnée une suite convergente, l’ensemble constitué des termes de la suite ainsi que de la limite est compact. Tout ensemble muni de la topologie cofinie est quasi-compact. L’ensemble de Cantor est compact, comme fermé du compact .

Dans un espace séparé, deux parties compactes disjointes sont toujours incluses dans deux ouverts disjoints. On déduit facilement des deux propriétés précédentes que dans un espace séparé, toute intersection de compacts est compacte. Toute intersection d’une suite décroissante de compacts connexes est connexe. Dans un espace séparé, deux parties compactes disjointes sont toujours incluses dans deux ouverts disjoints : soient A et B deux parties disjointes d’un espace séparé E qui, munies de la topologie induite, sont compactes.